В тайне — втайне
Написание здесь зависит от части речи. Чаще всего это наречие, отвечающее на вопрос КАК? Тогда пишем «втайне» слитно. Например: он держал втайне свою переписку. Если же это существительное с предлогом, «в тайне» пишется раздельно. Например: Всё дело в тайне происхождения Земли. В тайне — втайне
Глагол «осенить» не от слова «синий». Сейчас он имеет значение «внезапно возникнуть (о мысли), прийти в голову». Раньше он значил «покрыть собой, накрыть сенью». Поэтому «сень» и будет проверочным словом.
Слово «окантовка» происходит от «кант» — оторочка по краю или шву одежды. Поэтому слово «кант» будет проверочным.
Написание слова следует из его происхождения. Изначально поручики были помощниками командира роты. Поручик, то есть порученец, офицер для поручений. «Поручение» и будет проверочным словом.
Многие наречия действительно пишутся с буквой О на конце. Но «завтра» не относится к таковым. Чтобы лучше запомнить, вспомните строчку из песни: «завтра будет лучше, чем вчера», где наречие «вчера» также пишется с буквой А.